第七十一幕.萊納的數學教室(下)
更新時間:2020-06-21 作者:無火的余灰
拜見校長大人 第七十一幕.萊納的數學教室(下)
已故的法則系高階法師安德爾.盧瓦爾對拋物線的定義是平面上到一個定點的距離等于到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡，而那個定點便是拋物線的焦點，那一條定直線就是拋物線的準線。 “這條拋物線的準線方程是y=-p/2，焦點則是(0，p/2)，引入極坐標，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ+p/2。” 萊納在黑板上流暢地書寫著，他之前已經自己推導過一遍，因此現在只不過是復述而已。 “那么，這個拋物線上的點A到準線的距離就是r*cosθ+p，到焦點的距離就是r，根據定義，這兩者應當是相同的，即為r=r*cosθ+p，稍微化簡一下，以θ為自變量，就能得到一個表達式r=p/（1-cosθ）。” 計算式子在黑板上不斷被書寫，猶如一條條神秘的咒語，指引著一個奇妙的世界。 “將其帶入原始的函數方程，很容易就能看出這兩者是等價的，不過是同一個拋物線在不同坐標系下的不同數學表達而已。” 而很明顯，極坐標的函數方程十分簡潔，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。 萊納在查閱這個世界的數學資料時，發現出人意料的，這里的數學發展比起其他方面的發展要落后許多，雖然各種曲線方程，三角函數的發展已經很快，大部分數學概念已經被確定下來，但涉及到微積分與數論方面的知識卻鮮少有人討論，至于虛數的領域更是尚不存在。 法則系的傳奇法師伊薩里斯.艾伯頓閣下是微積分的創始者，但他最開始不過是為了用來描述自己的運動三大定律，完全沒有想到將其發揚光大。 微積分的普及還是在數年之后，剛剛成為高階法師的艾伯頓閣下所在的學校面臨經費危機，他才想到將微積分作為法則系學生的必修課，當年學校的重修費收入便提高了百分之五百以上，順利度過了危機，而微積分也開始成為中高階法師們構筑法術模型時候的參考。 究其原因，萊納認為有兩點。 第一點，這畢竟是一個魔法的世界，古代法師們在沒有任何數學理論的基礎上照樣發展出了燦爛輝煌的文明，對于絕大多數法師而言，經驗直覺遠比計算來得方便，而越是高階法師，這一點體現得越明顯。 用一個簡單的例子來說明便是測量一個不規則桶的容積，人們既可以選擇將其分解，不斷積分得到最終答案，也可以選擇直接用魔力灌滿，得到答案，而后者顯然簡單粗暴得多。 高階法師們就像是擁有強大計算力的機器，哪怕只用單純的窮舉法也能完成絕大多數法術模型的計算。 數學在這個世界歸根結底還只不過是捷徑，而強者不需要捷徑，弱者的學識又不足以找到新的捷徑，因此這個學科的發展一直沒有人推動。 如今數學成果的進步大多還仰仗于現實中遇到了難以解決的問題，人們才會轉頭去尋求數學的幫助。 第二點，也是最重要的一點，那就是數學的發展無法獲得世界的反饋。 即便萊納提出了極坐標體系，但世界的反饋幾乎不存在，一千八百年前泰勒斯.阿納克希提出了三角形的阿納克希定理，這重大發現卻完全得不到世界的反饋，一度讓他以為自己弄錯了。 艾伯頓閣下創立的微積分也沒有對他構筑法術模型和收獲學生的怨念之外產生任何幫助，也正因此，直到現在，在法師的派系中也并沒有專門研究數學的一派，更沒有數學家，研究者大多分布在法則系與元素系之中，專注于用數學知識優化法陣與法術模型，更傾向于應用數學。 這個世界的學術體系之所以蓬勃發展，人們之所以對真理求賢若渴，很大一部分原因便是對世界真實的探索能夠獲得反饋，獲取力量，而看起來“一無是處”的數學，自然就無人問津了。 “這太奇妙了。” 丹娜小聲說道，倘若以萊納得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的軌跡方程，她在今天之前，從來沒有意識到數學竟然有這種奇妙的力量。 克萊爾陷入沉思，她想了想，才舉起手，提問道。 “可這只能解釋拋物線的軌跡，法術模型里還有更多更復雜的曲線，比如橢圓和雙曲線，這些該怎么辦？” “這就是問題所在。” 萊納微微一笑，接著在黑板上畫出一個橢圓，建立極坐標，開始推演。 “橢圓的定義是平面上到兩個定點的距離等于一個常數，并且大于兩個定點之間距離的點的集合，同樣存在著準線與焦點，定義可以轉化為平面上到定點的距離與到準線的距離的比值為常數的點的集合，以同拋物線類似的方法帶入......” 萊納的板書很規整，簡單明了，丹娜也能迅速理解。 最終，橢圓在引入極坐標之后得到了一個公式r=E/（1-e*cosθ），E=b^2/a，e=c/a，a是橢圓的長軸的一般，而b則是短軸的一半，而c則是兩個焦點之間的距離。 “這兩個公式，很像。” 丹娜意識到了一些問題，但卻沒辦法得出結論。 沒有等待她們仔細思考，萊納又開始推導雙曲線的極坐標方程。 雙曲線是到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數，且小于兩個點之間距離的點的集合，萊納已經推導了拋物線和橢圓的極坐標方程，因此很快就得到了雙曲線的極坐標方程。 r=E/（1-e*cosθ）。 這三個方程的形式驚人地一致，讓克萊爾與丹娜驚訝得說不出話。 “實際上，我們可以假設拋物線也存在一個e，只不過這個e的值是1，而焦點與長短軸的長度也能統一，這樣來看，橢圓，雙曲線，拋物線實際上可以用同一個極坐標方程表示，而決定它們不同的便是這個e，我定義其為離心率。” 看著黑板上三個迥然不同的曲線與一大串推導公式，萊納說道。 “當離心率大于1，那么便是雙曲線，當離心率小于1，則是橢圓，而當離心率等于1，便是拋物線，當離心率等于0，那么這便是一個正圓。” 他的結論看似難以接受，但一步步的推導過程卻又是如此明晰，克萊爾與丹娜挑不出任何毛病。 “由此，我們可以證明這幾種曲線其實是同一種曲線在不同情況下的變化，同時給這幾種曲線下一個更加精簡且統一的定義：平面上，與一個定點的距離與一條定直線的距離的比值為常數的點的集合，這個常數便是離心率e！” 放下粉筆，萊納輕聲說道。 “證明完畢。”拜見校長大人 第七十一幕.萊納的數學教室(下)
已故的法則系高階法師安德爾.盧瓦爾對拋物線的定義是平面上到一個定點的距離等于到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡，而那個定點便是拋物線的焦點，那一條定直線就是拋物線的準線。 “這條拋物線的準線方程是y=-p/2，焦點則是(0，p/2)，引入極坐標，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ+p/2。” 萊納在黑板上流暢地書寫著，他之前已經自己推導過一遍，因此現在只不過是復述而已。 “那么，這個拋物線上的點A到準線的距離就是r*cosθ+p，到焦點的距離就是r，根據定義，這兩者應當是相同的，即為r=r*cosθ+p，稍微化簡一下，以θ為自變量，就能得到一個表達式r=p/（1-cosθ）。” 計算式子在黑板上不斷被書寫，猶如一條條神秘的咒語，指引著一個奇妙的世界。 “將其帶入原始的函數方程，很容易就能看出這兩者是等價的，不過是同一個拋物線在不同坐標系下的不同數學表達而已。” 而很明顯，極坐標的函數方程十分簡潔，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。 萊納在查閱這個世界的數學資料時，發現出人意料的，這里的數學發展比起其他方面的發展要落后許多，雖然各種曲線方程，三角函數的發展已經很快，大部分數學概念已經被確定下來，但涉及到微積分與數論方面的知識卻鮮少有人討論，至于虛數的領域更是尚不存在。 法則系的傳奇法師伊薩里斯.艾伯頓閣下是微積分的創始者，但他最開始不過是為了用來描述自己的運動三大定律，完全沒有想到將其發揚光大。 微積分的普及還是在數年之后，剛剛成為高階法師的艾伯頓閣下所在的學校面臨經費危機，他才想到將微積分作為法則系學生的必修課，當年學校的重修費收入便提高了百分之五百以上，順利度過了危機，而微積分也開始成為中高階法師們構筑法術模型時候的參考。 究其原因，萊納認為有兩點。 第一點，這畢竟是一個魔法的世界，古代法師們在沒有任何數學理論的基礎上照樣發展出了燦爛輝煌的文明，對于絕大多數法師而言，經驗直覺遠比計算來得方便，而越是高階法師，這一點體現得越明顯。 用一個簡單的例子來說明便是測量一個不規則桶的容積，人們既可以選擇將其分解，不斷積分得到最終答案，也可以選擇直接用魔力灌滿，得到答案，而后者顯然簡單粗暴得多。 高階法師們就像是擁有強大計算力的機器，哪怕只用單純的窮舉法也能完成絕大多數法術模型的計算。 數學在這個世界歸根結底還只不過是捷徑，而強者不需要捷徑，弱者的學識又不足以找到新的捷徑，因此這個學科的發展一直沒有人推動。 如今數學成果的進步大多還仰仗于現實中遇到了難以解決的問題，人們才會轉頭去尋求數學的幫助。 第二點，也是最重要的一點，那就是數學的發展無法獲得世界的反饋。 即便萊納提出了極坐標體系，但世界的反饋幾乎不存在，一千八百年前泰勒斯.阿納克希提出了三角形的阿納克希定理，這重大發現卻完全得不到世界的反饋，一度讓他以為自己弄錯了。 艾伯頓閣下創立的微積分也沒有對他構筑法術模型和收獲學生的怨念之外產生任何幫助，也正因此，直到現在，在法師的派系中也并沒有專門研究數學的一派，更沒有數學家，研究者大多分布在法則系與元素系之中，專注于用數學知識優化法陣與法術模型，更傾向于應用數學。 這個世界的學術體系之所以蓬勃發展，人們之所以對真理求賢若渴，很大一部分原因便是對世界真實的探索能夠獲得反饋，獲取力量，而看起來“一無是處”的數學，自然就無人問津了。 “這太奇妙了。” 丹娜小聲說道，倘若以萊納得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的軌跡方程，她在今天之前，從來沒有意識到數學竟然有這種奇妙的力量。 克萊爾陷入沉思，她想了想，才舉起手，提問道。 “可這只能解釋拋物線的軌跡，法術模型里還有更多更復雜的曲線，比如橢圓和雙曲線，這些該怎么辦？” “這就是問題所在。” 萊納微微一笑，接著在黑板上畫出一個橢圓，建立極坐標，開始推演。 “橢圓的定義是平面上到兩個定點的距離等于一個常數，并且大于兩個定點之間距離的點的集合，同樣存在著準線與焦點，定義可以轉化為平面上到定點的距離與到準線的距離的比值為常數的點的集合，以同拋物線類似的方法帶入......” 萊納的板書很規整，簡單明了，丹娜也能迅速理解。 最終，橢圓在引入極坐標之后得到了一個公式r=E/（1-e*cosθ），E=b^2/a，e=c/a，a是橢圓的長軸的一般，而b則是短軸的一半，而c則是兩個焦點之間的距離。 “這兩個公式，很像。” 丹娜意識到了一些問題，但卻沒辦法得出結論。 沒有等待她們仔細思考，萊納又開始推導雙曲線的極坐標方程。 雙曲線是到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數，且小于兩個點之間距離的點的集合，萊納已經推導了拋物線和橢圓的極坐標方程，因此很快就得到了雙曲線的極坐標方程。 r=E/（1-e*cosθ）。 這三個方程的形式驚人地一致，讓克萊爾與丹娜驚訝得說不出話。 “實際上，我們可以假設拋物線也存在一個e，只不過這個e的值是1，而焦點與長短軸的長度也能統一，這樣來看，橢圓，雙曲線，拋物線實際上可以用同一個極坐標方程表示，而決定它們不同的便是這個e，我定義其為離心率。” 看著黑板上三個迥然不同的曲線與一大串推導公式，萊納說道。 “當離心率大于1，那么便是雙曲線，當離心率小于1，則是橢圓，而當離心率等于1，便是拋物線，當離心率等于0，那么這便是一個正圓。” 他的結論看似難以接受，但一步步的推導過程卻又是如此明晰，克萊爾與丹娜挑不出任何毛病。 “由此，我們可以證明這幾種曲線其實是同一種曲線在不同情況下的變化，同時給這幾種曲線下一個更加精簡且統一的定義：平面上，與一個定點的距離與一條定直線的距離的比值為常數的點的集合，這個常數便是離心率e！” 放下粉筆，萊納輕聲說道。 “證明完畢。”拜見校長大人 第七十一幕.萊納的數學教室(下)
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