第三十章高難度的下半場(今天下午有事,提前發)
更新時間:2024-07-03 作者:少一尾的九尾貓
大國院士 第三十章高難度的下半場(今天下午有事,提前發)
解：先做輔助線EI、FI、BI、CI。 充分性：若BC=BE+CF，則可在邊BC內取一點K，使BK=BE，從而CK=CF，連結KI。 在∠BAC的平分線AD上取△ABC的內心I，連結因BI平分∠ABC，CI平分ACB，故△BIK與△BIE關于BI對稱，△CIK與△CIF關于CI對稱..... 故∠BEI=∠BKI=π-∠CKI=π-∠CFI=∠AFI，從而A、E、I、F四點共圓...... 結合B、E、F、C四點共圓...... 必要性：若△ABC的內心I是△DEF的外心，由于AE≠AF（事實上，由B、E、F、C四點共圓.....）故...... 因此BC=BK+CK=BE+CF。 必要性證畢。 ....... 十分鐘的時間，第一道大題被徐川順利斬殺。 這道題的難度并不是很大，關鍵點有兩個，一個在于利用EI、FI、BI、CI這四條輔助線找到KI輔助線。 另一個則是對π值的運用了。 這是高中幾何解三角形和共圓用的比較少的一個點，不過只要掌握了這兩點，那么解開第一題并不是什么問題。 半個小時過去，難度較有提升的第二道整數求集合也斬落馬下。 “今年的題，似乎并不怎么難的樣子。” 看著最后一道一道函數，徐川摸了摸下巴，掃了一眼考場，大部分的學生都在低頭做題，這情況印證了他的想法。 畢竟若是題目難度偏高，肯定有學生抬頭望天。 這是他兩世競賽觀察出來的現象。 “算了，趕緊搞定第三題，然后交卷去試一下外面的美食。” 徐川搖了搖頭，注意力重新集中到試卷上。 巴蜀這個地方，他還是第一次來，不過昨天在巴蜀中學食堂吃過的一些美食讓他對這個地方的印象還不錯。 一所高中就能做出這樣的美食，那外面的店子應該味道更正宗一些。 雖然他算不上吃貨，但還是挺熱衷于嘗試食物的。 當然，前提是符合他口味的食物。 那些仰望星空、活蛆奶酪、鯡魚罐頭之類的黑暗料理還是算了。 不過就目前來看，巴蜀本地的食物還是挺不錯的。 ...... 三道大題做完，徐川檢查了兩遍，確認無問題后便提前交卷了。 今年湘南省隊的帶隊老師是星城一中的龔日輝老師，對徐川很熟悉，看到他卡著點提前交卷出來便知道這屆的題目可能不是那么難。 順手遞了瓶水，龔日輝笑著問道：“考的怎么樣？” “還行，上半場的題目難度并不是很高，看下半場了。” 徐川擰開水喝了一口，接著問道：“龔老師，這附近有什么美食嗎？我想去試試。” “巴蜀地帶的美食還挺多的，缽缽雞、川北涼粉、擔擔面、紅糖糍粑、天鵝蛋、三合泥、三大炮、肥腸粉.....這些都很不錯。” “這附近出了校門后往右走五百米左右就有一條美食街，你可以去那里看看。” “不過明天還有場考試，還是注意點，別吃壞了肚子。” 龔日輝笑著提醒道，對于眼前的這名學生，他還是放心的，他的舞臺在更大的IMO上，而不是國內的CMO。 “老師您以前來過這里，這么熟悉？”徐川有些訝異的問道，剛剛龔日輝可是一口氣給他推了十幾道小吃和美食來著的。 龔日輝笑了笑，道：“我老家就是巴蜀的，自然熟悉。” 徐川哦了一聲，點了點頭，道了聲謝準備去試試龔日輝口中的美食街。 不過還沒等他走兩步，身后一道聲音就拉住了他的腳步。 “川哥你去哪，等等我。” 身后，小圓臉盧天瑞的聲音遠遠的傳了過來，他也提前交卷出來了。 徐川其實不太想帶他，因為這小正太話真的太多了。 但耐不住糾纏，迫不得已帶上了這個尾巴。 “川哥，川哥，你第二道大題，求證集合D(n)={a−b∣∣n=ab，a，b∈Z+a>b}的什么方法？” “川哥，等會咱們去吃什么？” “川哥，你說咱們等下去吃火鍋會不會拉肚子？” “川哥，你說這巴蜀妹妹怎么就不怕冷呢？這都十二月了，還光著腿？” “川哥，.....” 一路上，盧天瑞嘰嘰喳喳的問個不停，活生生的一本行走的十萬個為什么。 徐川表示自己只想找個耳塞將耳朵塞起來，巴蜀妹妹為啥不怕冷他怎么知道，有本事你去問本人啊。 ...... 帶著個嘰喳不停的小正太在美食街逛了一圈后，徐川回到了集訓室。 雖說這小圓臉有點煩人，但巴蜀的美食還是很不錯的，有些特色美食也不像流傳中的一樣全都是麻辣口味，值得一試。 唯一的問題是，這邊的豆腐腦居然是酸辣口味的，這對于他來說簡直是異類中的異類。 豆腐腦這種東西，必須是甜的！ 回到集訓室，和其他參賽的隊友交流了一下今天考試的內容和經驗后，眾人便各自回到了寢室睡去。 一夜無話，第二天的考試很快就開始了。 入場檢查，試卷分發，徐川檢查了一下試卷，臉上的神情頓時就變的極其微妙。 “好家伙，我說昨天的考題怎么那么容易呢，原來難的都集中到這里來了。” 掃了遍試卷上的題目，徐川輕聲嘀咕了一下。 和昨天一樣，依舊是三道題目，而且依舊是一道幾何，一道整數集合，一道函數。 但題目的難度卻翻了好幾倍都不止。 就連他，在拿到試卷后第一時間腦海中都沒有出現具體的解題思路。 相對于昨天的第一道幾何三角簡單的兩個三角圖形來說，今天的幾何圖復雜了何止十倍。 一道幾何，題目文字只占據了兩三行，但下面的幾何圖卻幾乎占據了試卷一半以上的版本。 徐川數了一下，這個幾何圖一共有四個圓，兩個大圓，兩個小圓，圓與圓之間像奧運五環一般互相交錯著。 而圓中，圓外，還有八個不同的三角形，有銳角三角形、有直角三角形、有鈍角三角形這種常見的三角，還有切瓦三角形、勒落三角形這種復雜的三角。 除此之外，還有六道支線橫穿過三角與圓，橫縱交替，將整個幾何圖切割的七零八碎。 三角與三角相交，三角與圓相交，圓與圓相切，直線切割，復雜的圖形看的徐川都想撕試卷了。 這對于數學競賽生來說，絕對是噩夢一般的存在。 .......大國院士 第三十章高難度的下半場(今天下午有事,提前發)
解：先做輔助線EI、FI、BI、CI。 充分性：若BC=BE+CF，則可在邊BC內取一點K，使BK=BE，從而CK=CF，連結KI。 在∠BAC的平分線AD上取△ABC的內心I，連結因BI平分∠ABC，CI平分ACB，故△BIK與△BIE關于BI對稱，△CIK與△CIF關于CI對稱..... 故∠BEI=∠BKI=π-∠CKI=π-∠CFI=∠AFI，從而A、E、I、F四點共圓...... 結合B、E、F、C四點共圓...... 必要性：若△ABC的內心I是△DEF的外心，由于AE≠AF（事實上，由B、E、F、C四點共圓.....）故...... 因此BC=BK+CK=BE+CF。 必要性證畢。 ....... 十分鐘的時間，第一道大題被徐川順利斬殺。 這道題的難度并不是很大，關鍵點有兩個，一個在于利用EI、FI、BI、CI這四條輔助線找到KI輔助線。 另一個則是對π值的運用了。 這是高中幾何解三角形和共圓用的比較少的一個點，不過只要掌握了這兩點，那么解開第一題并不是什么問題。 半個小時過去，難度較有提升的第二道整數求集合也斬落馬下。 “今年的題，似乎并不怎么難的樣子。” 看著最后一道一道函數，徐川摸了摸下巴，掃了一眼考場，大部分的學生都在低頭做題，這情況印證了他的想法。 畢竟若是題目難度偏高，肯定有學生抬頭望天。 這是他兩世競賽觀察出來的現象。 “算了，趕緊搞定第三題，然后交卷去試一下外面的美食。” 徐川搖了搖頭，注意力重新集中到試卷上。 巴蜀這個地方，他還是第一次來，不過昨天在巴蜀中學食堂吃過的一些美食讓他對這個地方的印象還不錯。 一所高中就能做出這樣的美食，那外面的店子應該味道更正宗一些。 雖然他算不上吃貨，但還是挺熱衷于嘗試食物的。 當然，前提是符合他口味的食物。 那些仰望星空、活蛆奶酪、鯡魚罐頭之類的黑暗料理還是算了。 不過就目前來看，巴蜀本地的食物還是挺不錯的。 ...... 三道大題做完，徐川檢查了兩遍，確認無問題后便提前交卷了。 今年湘南省隊的帶隊老師是星城一中的龔日輝老師，對徐川很熟悉，看到他卡著點提前交卷出來便知道這屆的題目可能不是那么難。 順手遞了瓶水，龔日輝笑著問道：“考的怎么樣？” “還行，上半場的題目難度并不是很高，看下半場了。” 徐川擰開水喝了一口，接著問道：“龔老師，這附近有什么美食嗎？我想去試試。” “巴蜀地帶的美食還挺多的，缽缽雞、川北涼粉、擔擔面、紅糖糍粑、天鵝蛋、三合泥、三大炮、肥腸粉.....這些都很不錯。” “這附近出了校門后往右走五百米左右就有一條美食街，你可以去那里看看。” “不過明天還有場考試，還是注意點，別吃壞了肚子。” 龔日輝笑著提醒道，對于眼前的這名學生，他還是放心的，他的舞臺在更大的IMO上，而不是國內的CMO。 “老師您以前來過這里，這么熟悉？”徐川有些訝異的問道，剛剛龔日輝可是一口氣給他推了十幾道小吃和美食來著的。 龔日輝笑了笑，道：“我老家就是巴蜀的，自然熟悉。” 徐川哦了一聲，點了點頭，道了聲謝準備去試試龔日輝口中的美食街。 不過還沒等他走兩步，身后一道聲音就拉住了他的腳步。 “川哥你去哪，等等我。” 身后，小圓臉盧天瑞的聲音遠遠的傳了過來，他也提前交卷出來了。 徐川其實不太想帶他，因為這小正太話真的太多了。 但耐不住糾纏，迫不得已帶上了這個尾巴。 “川哥，川哥，你第二道大題，求證集合D(n)={a−b∣∣n=ab，a，b∈Z+a>b}的什么方法？” “川哥，等會咱們去吃什么？” “川哥，你說咱們等下去吃火鍋會不會拉肚子？” “川哥，你說這巴蜀妹妹怎么就不怕冷呢？這都十二月了，還光著腿？” “川哥，.....” 一路上，盧天瑞嘰嘰喳喳的問個不停，活生生的一本行走的十萬個為什么。 徐川表示自己只想找個耳塞將耳朵塞起來，巴蜀妹妹為啥不怕冷他怎么知道，有本事你去問本人啊。 ...... 帶著個嘰喳不停的小正太在美食街逛了一圈后，徐川回到了集訓室。 雖說這小圓臉有點煩人，但巴蜀的美食還是很不錯的，有些特色美食也不像流傳中的一樣全都是麻辣口味，值得一試。 唯一的問題是，這邊的豆腐腦居然是酸辣口味的，這對于他來說簡直是異類中的異類。 豆腐腦這種東西，必須是甜的！ 回到集訓室，和其他參賽的隊友交流了一下今天考試的內容和經驗后，眾人便各自回到了寢室睡去。 一夜無話，第二天的考試很快就開始了。 入場檢查，試卷分發，徐川檢查了一下試卷，臉上的神情頓時就變的極其微妙。 “好家伙，我說昨天的考題怎么那么容易呢，原來難的都集中到這里來了。” 掃了遍試卷上的題目，徐川輕聲嘀咕了一下。 和昨天一樣，依舊是三道題目，而且依舊是一道幾何，一道整數集合，一道函數。 但題目的難度卻翻了好幾倍都不止。 就連他，在拿到試卷后第一時間腦海中都沒有出現具體的解題思路。 相對于昨天的第一道幾何三角簡單的兩個三角圖形來說，今天的幾何圖復雜了何止十倍。 一道幾何，題目文字只占據了兩三行，但下面的幾何圖卻幾乎占據了試卷一半以上的版本。 徐川數了一下，這個幾何圖一共有四個圓，兩個大圓，兩個小圓，圓與圓之間像奧運五環一般互相交錯著。 而圓中，圓外，還有八個不同的三角形，有銳角三角形、有直角三角形、有鈍角三角形這種常見的三角，還有切瓦三角形、勒落三角形這種復雜的三角。 除此之外，還有六道支線橫穿過三角與圓，橫縱交替，將整個幾何圖切割的七零八碎。 三角與三角相交，三角與圓相交，圓與圓相切，直線切割，復雜的圖形看的徐川都想撕試卷了。 這對于數學競賽生來說，絕對是噩夢一般的存在。 .......大國院士 第三十章高難度的下半場(今天下午有事,提前發)
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