第282章 黎曼定理和蕭氏猜想
更新時間:2024-10-20 作者:正律和鳴
學霸就是要肝 第282章 黎曼定理和蕭氏猜想
原域名已被污染，請記住新域名 定理7.3：設f是一個n維Siegel模形式，X_f(n)是相應的廣義模曲線。那么存在一個自然的Galois表示:ρ_f:Gal(Q/Q)→GL_n(Z_)，使得對于任意素數p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特征多項式等于X_f(n)在p處的Zeta函數ζ(X_f(n)，T)…… 蕭易的辦公室中，他正在草稿紙上面寫下關于阿廷猜想證明的最后幾步。 “嗯，這個定理就成功建立了廣義模曲線的幾何䗼質與Galois表示的算術䗼質之間的聯系。” “有了這個結果，我總算是可以將阿廷猜想轉化為關于Galois表示的一個問題了。” “那么，這個Galois表示下的阿廷猜想就是……” 定理7.4：設E是一個橢圓曲線，L(s，E)是它的HasseWeilL函數。那么以下兩個條件等價:(1)L(s，E)是整個複平面上的全純函數，并滿足一個函數方程；(2)存在一個模形式f，使得E的Galois表示ρ_E與ρ_f同構。 蕭易的嘴角微微一翹，就仿佛一切盡在他的掌握之中。 到了這一步，他就成功地將阿廷猜想轉化為了另外一種形式下的問題。 絕大多數的猜想證明，也基本上都不外如是。 數學家們所需要證明的最終形式，往往都和原來的問題陳述大相徑庭，但是，通過對各種數學關系之間的抽絲剝繭，就能夠在這個最終形式和猜想本身的描述之間，劃上代表了等價關系的符號。 至于問題原來本身的描述，更多也都是為了方便人們的理解。 就比如其他的各種問題，像是冰雹猜想這樣，它的描述看起來十分的簡單，但是最終證明出來的形式，就并不是本身的那樣，而是一個相當複雜的式子。 包括像是安德魯·懷爾斯所證明的費馬大定理，最終的形式也是截然不同的。 因此，隨著蕭易現在將阿廷猜想進行了轉變之后，他只需要證明每個橢圓曲線的Galois表示都來自一個模形式就行了。 “那么，定理7.5，對于任意的橢圓曲線E，存在一個廣義模曲線X和一個閉嵌入i:E→X，使得i誘導了Galois表示之間的同構:ρ_Eρ_X°i_。” 這個定理7.5，就是他最后一個需要完成證明的問題了。 同樣的，在這里也并沒有對他造成任何困難，僅僅只是略微思索了一下，然后，他就徹底完成了自己的結果。 “那么，由定理7.3，我們知道ρ_X來自一個Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f。” “結合這兩個結果，我們就有：ρ_Eρ_X°i_ρ_f°i_。” “這表明ρ_E也來自一個模形式，即f的“拉回“。” “由定理7.4，這意味著L(s，E)是整的并滿足函數方程。” “綜上所述，阿廷猜想是成立的。” 證畢。 在草稿紙上寫下了這最后的兩個字，蕭易也微微一笑。 歷經了如今之久的時間，終于，這個阿廷猜想被他成功破解了。 如此一來，他也算是距離黎曼猜想，真正地又近了一步。 不過，在此之前，他還需要根據他現在的結果，導出阿廷猜想的結果中，那個讓每個有限維複表示ρ和它們的L函數相等的自守表示π，到底是什么樣子的。 只有得到了這個式子，他才能夠借此開始嘗試證明 很快，他就成功地將這個全新的自守表示π給推導了出來。 “于是，我們就得到了一個函數方程。” 蕭易開始觀察這個方程。 這就是阿廷猜想最重要的結果。 就是這個函數方程，使得阿廷猜想所預言的：每個有限維複表示ρ:Gal(K/k)→GL(n，C)都應該對應于一個自守表示π，使得它們的L函數相等:L(s，ρ)L(s，π)，成立了。 通過這個結果，甚至也完全能夠去研究函子䗼猜想了。 當然，現在蕭易的研究重點也并不是函子䗼猜想。 現在，他要看的是，要如何將這個式子，和黎曼猜想聯系上。 很快，他就是微微一笑，手中的筆也再次動了起來。 既然都已經到這一步了，阿廷猜想也都已然被他所證明，接下來的難度，已經不能再將他難到哪里呢。 盡管接下來仍然要處理相當複雜的一系列推導，或許也需要很長的時間，不過可以肯定的是，對于他來說，已然不再困難。 時間再度飛轉而去。 大概一個月過去了。 這一個月的時間，世界仍然是該怎么樣就怎么樣，沒有發生任何的變化。 當然，對于華國來說，大概比較重要的就是，又建成了幾座核聚變發電站，并且都已經投入運行了。 隨著初期時間的過去，接下來，也確實是迎來核聚變發電站下餃子的時間段了。 那些核心經濟區，基本上都已經用上了來自核聚變的電，連帶著讓大A都迎來了一次盛大的牛市，幾乎是從今年開年之后，這個牛市就沒有停下來過。 一開始的時候，股民們都還有點不相信，畢竟回想起上一次的牛市，還是在2024年的時候，那旺盛了幾天的牛市，隨后就給瘋狂的股民們造成了狠狠地一次重擊。 只不過，當這一次的牛市連續漲了一個周后，他們就開始將信將疑了，而連續漲了半個月后，他們就不得不嘗試䗼地往里面開始投入了。 直到連續漲一個月之后，終于，股民們又一次陷入了瘋狂之中。 而到現在，股市也仍然還在上漲著，幾乎都沒有停下來過。 大盤都已經來到了史無前例的9500，早就已經超過了當年在2007年創下的6124點二分之一還多，距離突破10000都已經是指日可待。 這主要也是因為，核聚變能源讓眾多公司的經營成本全部都下調了不少，特別是對于那些實業公司來說，更是如此，要知道的是，華國的實業公司本身就是最多，華國向來也重視實業經濟的發展，從來都沒有像是西方那些國家那樣，大力發展金融經濟，而忽視了實業經濟的發展，特別是在工業上面。 華國的工業，可謂是核聚變實現之后的最大受益者。 至于質數先鋒計劃的數學家們，則仍然頭痛于，他們到底要選擇什么方向，針對這個問題，他們在一開始甚至還產生了不少的分歧，而這些分歧，也讓他們作出決定，先分成幾個隊伍，各自從不同的方向進行研究，然后再定期交流成果，接著又根據這些成果，來判斷哪個方向更加有機會。 基于這種方式下，他們也算是取得了一些成果。 比如那些想要繼續發展臨界線定理的數學家們，繼續根據臨界線定理往下研究，如今也成功拿出了一個比當初蕭易給出的62.5更高的數字，66.67，也就是差不多三分之二。 但是，同樣的道理，三分之二，距離最終的答案，看上去已經十分接近了，但實則不然，仍然有著猶如天塹般的距離。 甚至他們現在的成果，都只能說是繼續在當初蕭易的那個成果基礎上發展出來的，并不能說取得非常值得慶賀的成果。 至于其他方向的數學家們，也或多或少地都得到了一定的突破，只是這些突破，都不能稱得上多少，如果要發論文的話，恐怕都不一定夠得上一區——大概或許憑借他們一眾大佬的名氣，編輯們看在他們面子上面，或許也會同意將他們的這些論文發在一區上面。 不過，對于這些數學界的大牛們，他們基本上也丟不起這個臉，所以最后就創建了一個網站，就叫做質數先鋒計劃，然后將他們的這些成果都直接公布在這個網站上面，讓人們能夠看見他們都已經做到哪里了。 當然，也正因為此，所以也使得那些媒體們整天都在說，蕭易沒有像他們一樣，將自己的研究進展公布出來，以此來嘲諷蕭易沒有任何進展，或者說他因為擔心自己失敗，所以就不公布自己的研究成果，然后不斷地拾人牙慧。 雖然他們的這些嘲諷，蕭易基本上都沒有看到過，就算是看到了，也都沒有在意過。 就這樣，時間來到了7月15日這一天的凌晨。 對于任意的CM橢圓曲線E，存在一個廣義模曲線X和一個嵌入i:E→X，使得i誘導了Hecke特征之間的同構:λ_Eλ_X°i_，其中λ_X是X的Hecke特征，i_是由i誘導的Galois群之間的同態。 因此，代入定理8.9和定理9.1，我們可以確定，L(s，E)的所有零點都位于直線Re(s)1/2上。 所以，ζ(s)的所有非平凡零點也位于直線Re(s)1/2上。 綜上所述，黎曼猜想，成立。 最終的證明，完畢。 蕭易手中的筆，也在此刻停止在了最后的句號上的停筆處，久久沒有離去，仿佛凝結了時間的流逝。 黎曼定理！ 任何著名的數學猜想，都擁有著不同的歷史。 但是沒有任何猜想，會像是黎曼猜想這樣，擁有著如此非凡的地位。 而在此時此刻，歷史與現在發生了交匯，過去無數的數學家為之奮斗，為之付出，為之傾盡畢生心血的問題，就這樣在他的筆下，迎來了終結。 腦海中仿佛掠過了無數的畫面。 波恩哈德·黎曼在自己的辦公室中，為了表示自己對成為柏林科學院院士這一崇高榮譽的回報，他寫下了那封名為《論小于給定數值的素數個數》，那時候的他，大概也沒有想到，自己這篇僅僅只有短短八頁的論文，就此成為了令幾乎數學家們都魂牽夢繞的黎曼猜想的起點。 他仿佛還看到，一代代的數學家們，為了這個問題，前赴后繼的思考、爭論和探索。 無論是幾千年前的歐幾里…… 原域名已被污染，請記住新域名 學霸就是要肝 第282章 黎曼定理和蕭氏猜想
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