第十一章 BSD猜想
更新時間:2020-06-20 作者:幸運的球球
學霸的科幻世界 第十一章 BSD猜想
坎特正色道：“龐先生，您提出的這個方案，我一定請薩伊女士慎重考慮，但能否實施，還得經過聯合國安理會的討論。” 他們這幾人，都是少數知道三體文明將要入侵地球的人類精英，也看過三體文明的資料，在地球基礎科學已經被智子鎖死的情況下，他們對于人類文明能否在四百年后與三體人的戰爭中幸存下來幾乎不抱任何希望。 但龐學林提出的這個方案，卻是迄今為止第一次讓他們感覺到一絲希望的反擊計劃，同時對于這個計劃的提出者龐學林，也生出一絲敬畏之心。 龐學林微笑道：“那就有勞坎特先生了。” 接下來，眾人又聊了一會兒降臨派的話題。 龐學林從史強口中，得到了他和弗瑞德、格蘭特三人為什么會這么快就被找到的原因。 原來“審判日”號在進入向風海峽前，就已經被美軍的弗吉尼亞級核潛艇盯上了。 當天晚上他們搭乘救生艇從審判日號上出來，也一直在核潛艇的監控之中。 只是后來他們從古巴登陸，然后進入圣地亞哥躲藏，才算失去了他們的蹤跡。 雖然幾天后的“古箏行動”取得成功，但在“審判日”號內并沒有發現三體文明的相關資料，而太子港下船的那些降臨派，幾乎同樣被一網打盡的情況下，也沒找到三體文明的信息。 他們三人的行蹤這才被重視起來，在古巴政府的積極配合下，很快就定位到了三人躲藏的民宿。 隨后，美軍出動部署在關塔那摩的“三角洲”部隊，準備悄無聲息地將三人一網打盡，卻沒想到三人發生了內訌，唯有龐學林存活。 而且在民宿的閣樓內，“三角洲”部隊還發現了已經被燒毀的儲存有三體文明資料的硬盤。 原本人類一方都已經認定針對“審判日”號的行動失敗，降臨派已經徹底銷毀了三體文明的相關資料。 誰也沒有想到，第二天事情峰回路轉，在聯合國以及安理會五大常任理事國的公共郵箱中，收到了存有三體文明所有資料的郵件，而發件人，正是被弗瑞德用槍擊傷的龐學林。 因此，龐學林也得到了聯合國的重視，在他還處于昏迷的時候，便通過專機來到了紐約大學醫學中心。 史強說的這些信息和龐學林猜測的出入不大，又聊了大約半小時，三人這才告辭離去。 龐學林也松了口氣，雖然這次受傷不輕，但還是達到了自己想要的結果。 有了聯合國的庇護，接下來自己就可以安安心心在三體世界搞研究了。 現在是三體世界的2007年，距離面壁計劃真正開始實施，還有兩年時間，足夠自己浪。 他閉上眼睛，調出系統，開始研究系統給出的BSD猜想的證明全文。 …… BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想。 自上世紀五十年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、幾何、密碼學等有著密切的關系。 例如，懷爾斯（Wiles）證明費馬最后定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(modularform)之間的關系（谷山-志村猜想）。 BSD猜想就是與橢圓曲線有關。 上世紀六十年代，英國劍橋大學的貝赫與斯維納通-戴爾利用電腦計算一些多項式方程式的有理數解時發現，這種方程通常會有無窮多解。 然而要如何給出無窮多解呢？ 其解法是先分類，典型的數學方法是同余并藉此得同余類，即被一個數除之后的余數。 但是無窮多個數不可能每個都是需要的，數學家們便選擇了質數，所以從某種程度上說，這個問題還與黎曼猜想Zeta函數有關。 經過長時間大量的計算與資料收集，貝赫和斯維納通-戴爾觀察出一些規律與模式，因而提出BSD猜想：設E是定義在代數數域 K 上的橢圓曲線，E(K)是 E 上的有理點的集合，已經知道 E(K)是有限生成交換群。記 L(s，E)是 E 的Hasse-Weil L函數。則E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1處零點的階，并且后者的Taylor展開的第一個非零系數可以由曲線的代數性質精確表出。 前半部分通常稱為弱BSD猜想，后半部分則是BSD猜想分圓域的類數公式的推廣。 目前，數學家們僅僅證明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，對于Rank≥2部分的強BSD猜想，依舊無能為力。 此前龐學林也是沿著格羅斯、科茨走的那條路線，嘗試在rank=0和1的基礎上，推出rank≥2的BSD猜想，卻發現漸漸走進了死胡同。 最近半年內，他始終沒有任何進展。 因此，他非常好奇，系統給出的證明過程，到底采用了什么思路。 龐學林打開BSD猜想證明論文，看了起來。 BSD猜想的證明一共有六十多頁，對對一個千禧難題級別的猜想而言，顯得過于精簡了一些。 不過這并不重要，當年佩雷爾曼證明龐加萊猜想的時候，才用了三十多頁，因為過程太過簡略，好多人都看不懂，在數學界的強烈要求下，佩雷爾曼勉強又補充了兩篇文章，之后便再也不肯多給了。 但這并不妨礙佩雷爾曼的偉大。 因此，論文的長短并不重要，關鍵要看論文的質量。 龐學林并沒有從開頭開始細讀，而是先粗略瀏覽。 粗略瀏覽，有助于他從整體上了解BSD猜想的證明思路。 不過很快，龐學林的眉頭便皺了起來。 論文的開頭，便給出了一個與當前數學界截然不同的思路。 論文的第一部分，寫得是關于同余數問題的證明，即存在無窮多個素因子個數為任何指定正整數的同余數。 然后，推導出BSD對這樣的E_D成立：D是某個8k+5型素數和若干8k+1型素數的乘積，只要\Bbb Q(\sqrt{-D})的類群的4倍映射是單的。 這就有意思了。 雖然當前數學界，已經有人嘗試通過同余數問題去證明BSD猜想。 但這條路難度太大，還處于萌發狀態，目前國際數學界并沒有出現太多的成果。 這篇論文的出現，說明當前流行的BSD猜想證明方法，最終都會走向死胡同。 通過同余數問題證明BSD猜想，才是正確的思路。 龐學林凝神屏氣，繼續看下去。 …… 給定素數p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余數但2 p是同余數；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余數；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余數。 (弱BSD猜想)BSD猜想對E_D成立。特別的，r_D0當且僅當L(1，E_D)=0。 假定弱BSD猜想成立，則(1)理論上我們能夠判定D是否為同余數；(2)Tunnell定理給出在有限步內決定D是否為同余數的算法；(3)可以證明D \equiv 5，6，7(\mod 8)時r_D為奇數，故這樣的D均為同余數。 …… 根據Heegner點的高度理論——著名的Gross-Zagier公式可以將其與L'(1，E)聯系起來。 而基于Eichler， Shimura在模橢圓曲線方面的工作以及新近證明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以將L(s，E)解析延拓到整個復平面并且相應的Riemann猜想成立。 …… 這一看，便不知時間流逝。 也不知過了多久，龐學林總算將整篇論文粗略看完，長長舒了口氣。 雖然對于這篇論文，還有很多細節，很多問題需要解決，但是在整體證明思路上，龐學林卻感覺沒什么問題。 而且對整個BSD猜想的證明，龐學林也有種豁然開朗的感覺。 有了正確的思路，即使沒有這篇論文，他也能將BSD猜想的證明過程完全推導出來。 龐學林這才睜開眼，一扭頭，便發現不知不覺天已經黑了，之前見過的那名金發碧眼的小護士正在他身旁忙碌。 看到龐學林睜開眼，她不由得面露喜色，說道：“天哪，龐，你終于醒了！” 龐學林微微一愣，目光在護士MM的身份牌上掃過，疑惑道：“奧莉薇婭，我……我這是睡了多久啊？” 奧莉薇婭道：“你都睡了三天三夜了，醫生還擔心你出了什么問題，這兩天又是給你做顱腦CT，又是各種抽血化驗，結果顯示你的身體健健康康，只是睡著了，誰也說不明白你為什么會睡這么久。” 龐學林不由得吃了一驚，這種爆肝研究，他在現實世界雖然也干過，但大多都因為需要睡眠、補充食物給打斷了。 沒想到這次躺在病床上，自己竟然整整研究了三天三夜，而且醒來后，他并沒有那種爆肝的疲憊感，反而有種說不上來的神清氣爽。 難道說，閉上眼睛進入系統后，即使自己是在里面做研究，也只是相當于進入了深度睡眠？ 假如真是這樣，那么借助系統，自己的研究效率說不定還能得到提高。 龐學林的眼睛不由得亮了起來。 一直以來，龐學林并不覺得自己是天才，相比于歷史上那些大名鼎鼎的人物，他在學術界取得的成就微不足道。 但龐學林也有自己的追求。 他希望有一天，自己能真正憑借自己的力量解決千禧級別的難題，希望有一天，自己的名字能和歷史上那些閃閃發光的數學家相提并論。 因此，他需要不斷地提升自己的學習和研究效率。 或許在旁人眼中，龐學林已經是天才級別了，但龐學林自己卻并不這么認為。 世界上那些所謂的天才學霸，之所以能夠達到封神的高度，并非他天生就比別人聰明，只是因為他有著良好的學習習慣和高效的學習效率。 別的不說，龐學林自己之所以能取得如今的成就，是因為十年如一日，每天超過十小時以上的高強度學習。 即使這樣，他在國際數學界，也僅僅只是剛剛展露頭角的青年數學家，距離那些頂尖大牛，還有很長一段路要走。 天才是百分之一的靈感加上百分之九十九的汗水，但沒有百分之九十九的汗水，哪來那百分之一的靈感！學霸的科幻世界 第十一章 BSD猜想
坎特正色道：“龐先生，您提出的這個方案，我一定請薩伊女士慎重考慮，但能否實施，還得經過聯合國安理會的討論。” 他們這幾人，都是少數知道三體文明將要入侵地球的人類精英，也看過三體文明的資料，在地球基礎科學已經被智子鎖死的情況下，他們對于人類文明能否在四百年后與三體人的戰爭中幸存下來幾乎不抱任何希望。 但龐學林提出的這個方案，卻是迄今為止第一次讓他們感覺到一絲希望的反擊計劃，同時對于這個計劃的提出者龐學林，也生出一絲敬畏之心。 龐學林微笑道：“那就有勞坎特先生了。” 接下來，眾人又聊了一會兒降臨派的話題。 龐學林從史強口中，得到了他和弗瑞德、格蘭特三人為什么會這么快就被找到的原因。 原來“審判日”號在進入向風海峽前，就已經被美軍的弗吉尼亞級核潛艇盯上了。 當天晚上他們搭乘救生艇從審判日號上出來，也一直在核潛艇的監控之中。 只是后來他們從古巴登陸，然后進入圣地亞哥躲藏，才算失去了他們的蹤跡。 雖然幾天后的“古箏行動”取得成功，但在“審判日”號內并沒有發現三體文明的相關資料，而太子港下船的那些降臨派，幾乎同樣被一網打盡的情況下，也沒找到三體文明的信息。 他們三人的行蹤這才被重視起來，在古巴政府的積極配合下，很快就定位到了三人躲藏的民宿。 隨后，美軍出動部署在關塔那摩的“三角洲”部隊，準備悄無聲息地將三人一網打盡，卻沒想到三人發生了內訌，唯有龐學林存活。 而且在民宿的閣樓內，“三角洲”部隊還發現了已經被燒毀的儲存有三體文明資料的硬盤。 原本人類一方都已經認定針對“審判日”號的行動失敗，降臨派已經徹底銷毀了三體文明的相關資料。 誰也沒有想到，第二天事情峰回路轉，在聯合國以及安理會五大常任理事國的公共郵箱中，收到了存有三體文明所有資料的郵件，而發件人，正是被弗瑞德用槍擊傷的龐學林。 因此，龐學林也得到了聯合國的重視，在他還處于昏迷的時候，便通過專機來到了紐約大學醫學中心。 史強說的這些信息和龐學林猜測的出入不大，又聊了大約半小時，三人這才告辭離去。 龐學林也松了口氣，雖然這次受傷不輕，但還是達到了自己想要的結果。 有了聯合國的庇護，接下來自己就可以安安心心在三體世界搞研究了。 現在是三體世界的2007年，距離面壁計劃真正開始實施，還有兩年時間，足夠自己浪。 他閉上眼睛，調出系統，開始研究系統給出的BSD猜想的證明全文。 …… BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想。 自上世紀五十年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、幾何、密碼學等有著密切的關系。 例如，懷爾斯（Wiles）證明費馬最后定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(modularform)之間的關系（谷山-志村猜想）。 BSD猜想就是與橢圓曲線有關。 上世紀六十年代，英國劍橋大學的貝赫與斯維納通-戴爾利用電腦計算一些多項式方程式的有理數解時發現，這種方程通常會有無窮多解。 然而要如何給出無窮多解呢？ 其解法是先分類，典型的數學方法是同余并藉此得同余類，即被一個數除之后的余數。 但是無窮多個數不可能每個都是需要的，數學家們便選擇了質數，所以從某種程度上說，這個問題還與黎曼猜想Zeta函數有關。 經過長時間大量的計算與資料收集，貝赫和斯維納通-戴爾觀察出一些規律與模式，因而提出BSD猜想：設E是定義在代數數域 K 上的橢圓曲線，E(K)是 E 上的有理點的集合，已經知道 E(K)是有限生成交換群。記 L(s，E)是 E 的Hasse-Weil L函數。則E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1處零點的階，并且后者的Taylor展開的第一個非零系數可以由曲線的代數性質精確表出。 前半部分通常稱為弱BSD猜想，后半部分則是BSD猜想分圓域的類數公式的推廣。 目前，數學家們僅僅證明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，對于Rank≥2部分的強BSD猜想，依舊無能為力。 此前龐學林也是沿著格羅斯、科茨走的那條路線，嘗試在rank=0和1的基礎上，推出rank≥2的BSD猜想，卻發現漸漸走進了死胡同。 最近半年內，他始終沒有任何進展。 因此，他非常好奇，系統給出的證明過程，到底采用了什么思路。 龐學林打開BSD猜想證明論文，看了起來。 BSD猜想的證明一共有六十多頁，對對一個千禧難題級別的猜想而言，顯得過于精簡了一些。 不過這并不重要，當年佩雷爾曼證明龐加萊猜想的時候，才用了三十多頁，因為過程太過簡略，好多人都看不懂，在數學界的強烈要求下，佩雷爾曼勉強又補充了兩篇文章，之后便再也不肯多給了。 但這并不妨礙佩雷爾曼的偉大。 因此，論文的長短并不重要，關鍵要看論文的質量。 龐學林并沒有從開頭開始細讀，而是先粗略瀏覽。 粗略瀏覽，有助于他從整體上了解BSD猜想的證明思路。 不過很快，龐學林的眉頭便皺了起來。 論文的開頭，便給出了一個與當前數學界截然不同的思路。 論文的第一部分，寫得是關于同余數問題的證明，即存在無窮多個素因子個數為任何指定正整數的同余數。 然后，推導出BSD對這樣的E_D成立：D是某個8k+5型素數和若干8k+1型素數的乘積，只要\Bbb Q(\sqrt{-D})的類群的4倍映射是單的。 這就有意思了。 雖然當前數學界，已經有人嘗試通過同余數問題去證明BSD猜想。 但這條路難度太大，還處于萌發狀態，目前國際數學界并沒有出現太多的成果。 這篇論文的出現，說明當前流行的BSD猜想證明方法，最終都會走向死胡同。 通過同余數問題證明BSD猜想，才是正確的思路。 龐學林凝神屏氣，繼續看下去。 …… 給定素數p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余數但2 p是同余數；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余數；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余數。 (弱BSD猜想)BSD猜想對E_D成立。特別的，r_D0當且僅當L(1，E_D)=0。 假定弱BSD猜想成立，則(1)理論上我們能夠判定D是否為同余數；(2)Tunnell定理給出在有限步內決定D是否為同余數的算法；(3)可以證明D \equiv 5，6，7(\mod 8)時r_D為奇數，故這樣的D均為同余數。 …… 根據Heegner點的高度理論——著名的Gross-Zagier公式可以將其與L'(1，E)聯系起來。 而基于Eichler， Shimura在模橢圓曲線方面的工作以及新近證明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以將L(s，E)解析延拓到整個復平面并且相應的Riemann猜想成立。 …… 這一看，便不知時間流逝。 也不知過了多久，龐學林總算將整篇論文粗略看完，長長舒了口氣。 雖然對于這篇論文，還有很多細節，很多問題需要解決，但是在整體證明思路上，龐學林卻感覺沒什么問題。 而且對整個BSD猜想的證明，龐學林也有種豁然開朗的感覺。 有了正確的思路，即使沒有這篇論文，他也能將BSD猜想的證明過程完全推導出來。 龐學林這才睜開眼，一扭頭，便發現不知不覺天已經黑了，之前見過的那名金發碧眼的小護士正在他身旁忙碌。 看到龐學林睜開眼，她不由得面露喜色，說道：“天哪，龐，你終于醒了！” 龐學林微微一愣，目光在護士MM的身份牌上掃過，疑惑道：“奧莉薇婭，我……我這是睡了多久啊？” 奧莉薇婭道：“你都睡了三天三夜了，醫生還擔心你出了什么問題，這兩天又是給你做顱腦CT，又是各種抽血化驗，結果顯示你的身體健健康康，只是睡著了，誰也說不明白你為什么會睡這么久。” 龐學林不由得吃了一驚，這種爆肝研究，他在現實世界雖然也干過，但大多都因為需要睡眠、補充食物給打斷了。 沒想到這次躺在病床上，自己竟然整整研究了三天三夜，而且醒來后，他并沒有那種爆肝的疲憊感，反而有種說不上來的神清氣爽。 難道說，閉上眼睛進入系統后，即使自己是在里面做研究，也只是相當于進入了深度睡眠？ 假如真是這樣，那么借助系統，自己的研究效率說不定還能得到提高。 龐學林的眼睛不由得亮了起來。 一直以來，龐學林并不覺得自己是天才，相比于歷史上那些大名鼎鼎的人物，他在學術界取得的成就微不足道。 但龐學林也有自己的追求。 他希望有一天，自己能真正憑借自己的力量解決千禧級別的難題，希望有一天，自己的名字能和歷史上那些閃閃發光的數學家相提并論。 因此，他需要不斷地提升自己的學習和研究效率。 或許在旁人眼中，龐學林已經是天才級別了，但龐學林自己卻并不這么認為。 世界上那些所謂的天才學霸，之所以能夠達到封神的高度，并非他天生就比別人聰明，只是因為他有著良好的學習習慣和高效的學習效率。 別的不說，龐學林自己之所以能取得如今的成就，是因為十年如一日，每天超過十小時以上的高強度學習。 即使這樣，他在國際數學界，也僅僅只是剛剛展露頭角的青年數學家，距離那些頂尖大牛，還有很長一段路要走。 天才是百分之一的靈感加上百分之九十九的汗水，但沒有百分之九十九的汗水，哪來那百分之一的靈感！學霸的科幻世界 第十一章 BSD猜想
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